Военачальник. Генерал-лейтенант.
Дворянин. Образование получил в 1-м Павловском училище и Николаевской академии Генштаба. Участник русско-японской войны 1904-1905 гг. Служил в мобилизационном отделении Главного штаба, позднее — командир 1-го Аргунского полка Забайкальского казачьего войска.
Во время Первой мировой войны — командующий дивизией. Накануне Февральской революции 1917 г. поддерживал связь с думской оппозицией Николаю II. После того как командующий 3-м конным корпусом Ф.А. Келлер отказался подчиняться Временному Правительству, за что был уволен из армии, на его место был назначен Крымов.
Во время Корниловского выступления 3-й кавалерийский корпус направлен в Петроград, где должен был войти в состав отдельной Петроградской армии, подчинённой непосредственно Ставке. Задача армии состояла в подавлении выступлений в столице, а её Главнокомандующим генерал Л.Г. Корнилов назначил Крымова.
После фактического провала выступления Корнилова находящиеся под Петроградом войска Крымова всё ещё представляли опасность для правительства. А.Ф. Керенскому удалось под предлогом переговоров вызвать Крымова в Петроград. После разговора с Керенским А.М. Крымов совершил самоубийство.